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1张A4的白纸能作些什么?

1A4的白纸能作些什么?

梁海声 201152

很久没有为千人计划网站博客写文章了,总想要写点什么.正好趁着五一休息有点时间写出来.

为了准备今年的上海国际科学艺术展(513日至22)的一个世界最美的三棱锥与三角尺艺术展品,制作模型的时候发现可以用到A4的纸张.本来应该在本月展出以后再披露的,可是我为自己的发现感到感动,兴奋,也希望分享给千人计划网站博客的读者.因为读者大多做过多年的科技研究工作,会有些共同语言.而我周围的人估计没有做过多少科研工作.难以理解抽象数学发现的价值与意义.面向一般人群的科学艺术展需要的是视觉的实物,不可能有更多的文字表现,以及过于数学的描述介绍.所以分享给千人计划网站博客的读者,写在这里比较合适.首先声明,我不是数学专业的,也从来没有发表过数学论文,本文纯属兴趣爱好,希望读者多多批评指正。读者肯定会有疑问,为什么我称其为世界最美的三棱锥呢?因为20多年前的一个智力玩具发明(CN 87202939)用到正五边型,制作过其内接等腰三角形的模型。在研究其三角平面,以及拼接的三维空间造型的时候,发现这种四面均为此等腰三角形的三棱锥居然可近似的折叠出等边长三棱柱,等边长四棱柱.甚至具有分形性质,就是说同样大小的八个三棱锥就可以折叠出一个同样形状的,棱长为2,体积为8倍的大三棱锥.为了使得造型更具有美感与现实感,经过计算,我就用学生常用的三角尺来做实际的表现,大家知道就是成对的直角三角尺,一种为等腰直角三角,另一种直角三角的斜边为最短直角边的2. 等腰直角三角尺的斜边长度等于另一种直角三角的最长直角边.后来也完成了数学的证明.如果只是为了完成数学证明,那很有可能就不会去用三角尺来表现了.

三棱锥也被称为四面体.正四面体被研究得很透切了.帕拉图的学生亚里斯多德声称找到了一种正则四面体,可以填充三维空间,可是后来一直没有这种四面体的记载. 以下的四面体均指这种可填充三维空间的“世界最美的三棱锥”。

A4的打印白纸实在是太普通了, 一点都不起眼.不用纸以外的笔,颜料,剪刀,还能作些什么呢?

用一张A4白纸不必裁减,没有多余以及缺失部分,可折叠世界最美的四面体.这个偶然的发现与其尺寸的巧合使得我觉得很兴奋,饶有兴趣.使得我继续研究下去.我对折纸不是很有研究,但是看过一些折纸的书籍,自己没有用折纸折叠“世界最美的四面体”的记忆。因为折纸是正四方形的。后来发现不必裁减,没有多余以及缺失部分,可用一张A4纸折叠出2个同样大小,同样形状的世界最美的四面体.而且没有一块纸面是多余的,也没有一块是缺失的.正好覆盖2个同样四面体的8个表面.

我接着想一张纸还能折叠出2个四面体的其它不同的构造呢?结果发现可以折叠出4种双四面体.其中两种在拓扑学的意义上是一样的,只是接缝的形状不一样,接缝有I,T,L形等.

我根据形状特点命名这三种双四面体为金字塔,沙漏,三棱柱.分析后发现分别属于三种性质, 分为短边相接(三棱柱),长边相接(沙漏),面相接[长短边均相接](金字塔[四棱锥].

在接着我想能不能在一张A4纸上折叠出4个四面体呢?后来发现是可以折叠的,发现了5(一张纸上拼出4个相同大小的四面体). 再命名折叠类型,只能拼出一个四面体的就是1/1, 只能拼出两个大小相同四面体的是1/2, 只能拼出四个大小相同四面体的是1/4, 只能拼出八个大小相同四面体的是1/8, 依次类推。我发现51/4四面体折叠类型分别继承1/2四面体的三种性质。也具有数学的分形的性质。比如说四个1/4的“金字塔“继承”面相接的性质,16个面中8个面相接内藏了,整体就成为八面体。其中的一种1/4结构很有趣,有两个凹处,正好可以分别镶嵌进去两个同样大小的1/4四面体。命名为"空沙漏"。见附图。

1/4的金字塔,沙漏,三棱柱三种继承以外的另一个造型的命名为"测不准".

会不会还能折叠出1/8四面体呢?试验了很多次,都没能折叠出1/8四面体。差不多绝望的时候,发现可折叠出“二代“同堂, 就是一张纸可以折叠二种不同大小的四面体。有两种,1/2\2*(1/4), 2*(1/4)\4*(1/8),是继承关系。

还可以折叠出“三代同堂“, 就是一张纸可以折叠三种不同大小的四面体。 一种,1/2\1/4\2*(1/8),

折叠出1/8四面体以后,虽然不是全部的8个,但是增强了寻找1/8折叠法的信心,终于折叠出了一种1/8结构。这是到此为止最难的一种折叠法,因为过去的折叠法都有长或短中边对称的结构,而发现的这种1/8结构的形状是非对称的。中间有一凹处,可镶嵌进去一个同样大小的1/8四面体。两面的展开图见附图,黑线部分为分别为两个面的折叠的“谷“,相对于另一面就是”峰“。

一张A4的白纸就有了那么多的名堂,很有趣。特别是在造型方面。短短几天时间,已经发现了13中不同结构的”世界最美的四面体“组合造型家族。请问读者,到此为止是否能同意我把这种美妙的三棱锥称为”世界最美的三棱锥“呢?

到此为止,就有以下问题提出:

1. 1/2的共有多少种折叠法?

2. 1/4的共有多少种折叠法?

3. 1/8的共有多少种折叠法?

4. 是否存在1/N(N>=16)的折叠法?若存在的话共有几种?

5. N是否是无限大?(直觉来说N是有限的)。N的最大值是多少?

靠一个人,靠人力就很难解决以上的数学问题了,只能借助于计算机。希望有兴趣的朋友们一起来研究吧。

作为实际的应用,建筑设计,包装,装潢设计,展会设计,广告等都可以应用。

作为外行,我想到的一个应用,就是可以用于防止海啸的防波堤,正三棱柱具有安定性,三棱锥的斜向交面可以分解来自垂直方向的力量,比四方的结构要耐垂直的正面冲击力量。可以做成是空心的钢筋水泥三棱锥,里面灌海水。在同样的体积条件,这种世界最美的三棱锥具有比方形更高的高度。表面积也比方形大,也就说粘合度更高。希望内行批评指正。

谢谢阅读,欢迎探讨。

© 2011 www.1000plan.org/blog & Liang Haisheng

注:本文首发于千人计划网站博客,学术目的文字与图片转载务请标记“千人计划网站“出处以及著作者姓名。其它目的的转载,传统媒体的转载,改编,翻译,约稿等需得到原作者同意以及书面授权,请联系原作者 梁海声 lianghaisheng@yahoo.com.cn


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